Question

一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點，則可將原三角形分割為四個都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連接它的各邊中點所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖2）…，依此規(guī)則操作下去．n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時小三角形的面積為S_n．請寫出一個反映S_n-1，S_n，S_n+1（n＞1）之間關(guān)系的等式

 

．

Answer 1

分析：1階三角形有4個，把這4個三角形再分，每個分成4個，即共有4²個三角形，即2階三角形有4²個三角形，進(jìn)而可以得到n階三角形有4ⁿ個三角形．

解答：解：設(shè)△DEF的面積是a
則S_n-1=

a

4n-1

，S_n=

a

4n

，S_n+1=

a

4n+1

根據(jù)(

a

4n

)2=

a

4n-1

•

a

4n+1

因而S_n-1，S_n，S_n+1三者之間關(guān)系式是S_n²=S_n-1•S_n+1．
∴三者之間關(guān)系式是S_n²=S_n-1•S_n+1．

點評：這是一個猜想規(guī)律的問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)律，能判斷出n階分割后小三角形的個數(shù)．