Question

如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．
（1）判斷直線PD是否為⊙O的切線，并說明理由；
（2）如果∠BDE=60°，PD=

3

，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）要證是直線PD是為⊙O的切線，需證∠PDO=90°．因為AB為直徑，所以∠ADO+∠ODB=90°，由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°，即∠PDO=90°．
（2）根據已知可證△AOD為等邊三角形，∠P=30°．在Rt△POD中運用三角函數可求解．

解答：解：（1）PD是⊙O的切線．理由如下：
∵AB為直徑，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°．
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB，
∴∠ODA+∠PDA=90°．即∠PDO=90°．
∴PD是⊙O的切線．

（2）∵∠BDE=60°，∠ADB=90°，
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°，
又PD為半圓的切線，所以∠PDO=90°，
∴∠ADO=60°，又OA=OD，
∴△ADO為等邊三角形，∠AOD=60°．
在Rt△POD中，PD=

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，
∴OD=1，OP=2，
PA=PO-OA=2-1=1．

點評：此題考查了切線的判定及三角函數的有關計算等知識點，難度中等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．