Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求證：DC=BC；
（2）E是梯形內一點，F是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：過A作DC的垂線AM交DC于M，
則四邊形ABCM是矩形，
則AM=BC=2，MC=AB=1，
又∵tan∠ADC=2，
∴DM==1，
∴DC=DM+MC=2，
∴DC=BC；

（2）解：△ECF是等腰直角三角形．理由如下：
∵在△DEC和△BFC中，
，
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF為等腰直角三角形．
分析：（1）過A作DC的垂線AM交DC于M，可得四邊形ABCM是矩形，根據矩形的對邊相等求出AM=2，再根據tan∠ADC=2求出DM=1，然后求出CD=2，從而得證；
（2）利用“邊角邊”證明△DEC和△BFC全等，根據全等三角形對應邊相等可得CE=CF，全等三角形對應角相等可得∠ECD=∠BCF，然后求出∠ECF=90°，從而判斷出是等腰直角三角形．
點評：本題考查了梯形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定，解直角三角形，準確識圖確定出全等三角形是解題的關鍵．