Question

已知：如圖，在△ABC中，∠B=90度．O是BA上一點，以O為圓心、OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，AD=2，AE=1．設P是線段BA上的動點（P與A、B不重合），BP=x．
（1）求BE的長；
（2）求x為何值時，以P、A、D為頂點的三角形是等腰三角形；
（3）在點P的運動過程中，PD與△PBC的外接圓能否相切？若能，請證明；若不能，請說明理由；
（4）請再提出一個與動點P有關的數學問題，并直接寫出答案．

Answer 1

解：（1）∵AD與⊙O相切于點D，
∴AD²=AE•AB；
由AD=2，AE=1，得AB=4；
∴BE=AB-AE=3；

（2）①以A為頂角頂點時，AP₁=AD=2，x=BP₁=BA-P₁A=2；
②以P為頂角頂點時，作AD的垂直平分線P₂F交AB于P₂；
連接OD，則OD⊥AD，且OD∥P₂F；
∴P₂A=OA=x=BA-P₂A=；
③以D為頂角頂點時，DP₃=DA=2，過D作DM⊥AB于M，則DM∥BC；
由BC²+AB²=（AD+DC）²，得BC=DC=3，AM=，AP₃=2AM=，
∴x=BA-P₃A=2AM=，
綜上所述，當x等于2、、時，△APD是等腰三角形；

（3）PD與△PBC的外接圓不能相切；
理由：假設PD與△PBC的外接圓相切，
則PD⊥PC，
在Rt△PBC中，PC＞BC（直角三角形中，斜邊大于直角邊）
在Rt△PCD中，CD＞PC（直角三角形中，斜邊大于直角邊）
而BC=CD，與上面的矛盾，所以，不存在．
（4）答案不唯一，如：
①x為何值時，以P、D、A為頂點的三角形與△ABC相似；
答：當x=或時，以P、D、A為頂點的三角形與△ABC相似．
②當x為何值時，PD+PC的和最小；
答：當x=時，PD+PC的和最小．
分析：（1）由于AC切⊙O于點D，可根據切割線定理求得AB的長，即可得到BE的長；
（2）此題要分三種情況討論：
①以A為頂角頂點，那么AP₁=AD=2，根據AB的長即可求得此時BP₁的長，即x的值；
②以P為頂角頂點，可作線段AD的中垂線，交AD于F、交AB于P₂，則AF=FD、AP₂=DP₂；連接OD，易證得OD∥P₂F，則P₂F是△AOD的中位線，由此可得AP₂=OA，即可得到BP即x的值；
③以D為頂角頂點，此時AD=DP₃，可過D作AB的垂線，設垂足為M，根據等腰三角形三線合一的性質，可得AM=MP₃=AP₃，在Rt△ABC中，由切線長定理知BC=CD，已知AD、AB的長，即可由勾股定理求得BC、CD的長，易證得DM∥BC，根據平行線分線段成比例定理即可求得AM的長，由此可得到AP₃的長，即可求得BP₃即x的值．
（3）由于△PBC是直角三角形，則PC是△PBC外接圓的直徑，若PD能與△PBC的外接圓相切，則PD⊥PC，在Rt△PBC和Rt△PCD中，分別用勾股定理表示出PC的平方：
BC²+BP²=CD²-PD²，在（2）題已證得BC=CD，則BP²=-PD²，即B、P、D三點重合，顯然這種情況是不成立的，故PD不能與△PBC的外接圓相切．
（4）此題是開放性試題，可根據日常學習過程中的積累，來提出符合題意的問題．
點評：此題涉及的知識點較多，有：切線的判定和性質、切線長定理、勾股定理、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定和性質等重要知識點；需注意的是（2）題中，等腰三角形的腰和底不確定，要分類討論，以免漏解．