Question

如圖，將腰長為的等腰Rt△ABC（∠C=90°）放在平面直角坐標系中的第二象限，使點C的坐標為（-1，0），點A在y軸上，點B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）寫出點A，B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°，到達△AB′C′的位置．請判斷點B′、C′是否在該拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據腰長為的等腰Rt△ABC（∠C=90°），由AC=，CO=1，求出AO即可得出A點的坐標，進而得出B點的坐標；
（2）將B點坐標代入y=ax²+ax-2即可得出二次函數解析式；
（3）利用旋轉的性質得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，進而得出△AC′P≌△CAO，得出B′（1，-1）C′（2，1）代入二次函數解析式求出即可．
解答：解：（1）如圖1，做BE⊥x軸，
∵腰長為的等腰Rt△ABC（∠C=90°），
∴AC=，CO=1，∴AO=2，
∴A（0，2），
∵∠ACO=∠EBC，
AC=BC，∠AOC=∠BEC，
∴△ACO≌△CBE，
∴BE=1，EO=3，
∴B（-3，1）；

（2）將B點（-3，1）坐標代入y=ax²+ax-2即可得出二次函數解析式；
解析式為：y=+x-2；

（3）如圖2，過點B'作B'M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C'作C'P⊥y軸于點P．在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點C′（2，1）；
當x=1時y=+x-2=-1，
當x=2時y=+x-2=1，
可知點B′、C′在拋物線上．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定等知識，注意利用旋轉前后圖形的性質得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，進而得出△AC′P≌△CAO是解決問題的關鍵．