Question

我們把弧長等于半徑的扇形叫等邊扇形．如圖，扇形OAB是等邊扇形，設OA=R，下列結論中：①∠AOB=60°；②扇形的周長為3R；③扇形的面積為；④點A與半徑OB中點的連線垂直OB；⑤設OA、OB的垂直平分線交于點P，以P為圓心，PA為半徑作圓，則該圓一定會經過扇形的弧AB的中點．其中正確的個數為（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據弧長的計算公式判斷①錯誤；
根據扇形的周長定義判斷②正確；
根據S_扇形=lR（其中l為扇形的弧長）判斷③正確；
先由等邊扇形的定義得出AB＜OA，再根據等腰三角形三線合一的性質得出AM與OB不垂直，判斷④錯誤；
由線段垂直平分線的性質及三角形兩邊之和大于第三邊得出OP=PA＞OA，又OA=OC，OP+PC=OC，則PC＜OC＜OP=AP，即PC＜圓P的半徑，判斷⑤錯誤．
解答：解：①設∠AOB=n°，
∵OA=OB==R，
∴R=，
∴n=＜60，故①錯誤；

②扇形的周長為：OA+OB+=R+R+R=3R，故②正確；

③扇形的面積為：•OA=R•R=，故③正確；

④如圖，設半徑OB的中點為M，連接AM．
∵OA=OB==R，
∴AB＜R=OA，
∵OM=MB，
∴AM與OB不垂直，故④錯誤；

⑤如圖，設弧AB的中點為C．
∵OP=PA＞OA，
∵OA=OC，
∴OP＞OC，
∵OP+PC=OC，
∴PC＜OC＜OP=AP，
即PC＜圓P的半徑，
∴以P為圓心，PA為半徑作圓，則該圓一定不會經過扇形的弧AB的中點C．
故選B．
點評：本題考查了弧長的計算，扇形的周長與面積，等腰三角形、線段垂直平分線的性質，三角形三邊關系定理，三點共圓的條件，綜合性較強，難度適中．