Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB＝AC，直徑AD交BC于點E，F是OE上的一點，使CF∥BD．

（1）求證：BE＝CE；

（2）若BC＝8，AD＝10，求四邊形BFCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形BFCD的面積為16．

【解析】

（1）由AB＝AC可得，然后根據垂徑定理的推論即可證得結論；

（2）先根據ASA證得△BED≌△CEF，從而可得CF＝BD，于是可推得四邊形BFCD是平行四邊形，進一步即得四邊形BFCD是菱形；易證△AEC∽△CED，設DE＝x，根據相似三角形的性質可得關于x的方程，解方程即可求出x的值，再根據菱形面積公式計算即可.

（1）證明：∵AB＝AC，∴，

∵AE過圓心O，∴BE＝CE；

（2）解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BED=∠CEF=90°，

∵CF∥BD，∴∠DBE＝∠FCE，

∴△BED≌△CEF（ASA），∴CF＝BD，

∴四邊形BFCD是平行四邊形，

∵AD⊥BC，∴平行四邊形BFCD是菱形；

∴BD=CD，∴，∴∠CAE＝∠ECD，∵∠AEC＝∠CED=90°，

∴△AEC∽△CED，∴，∴CE2＝DEAE，

設DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴CE=4，AE=10－x，

∴42＝x（10﹣x），解得：x＝2或x＝8（舍去），

∴DF＝2DE＝4，

∴四邊形BFCD的面積＝×4×8＝16．