Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，點P從點A出發，沿折線AB﹣BC向終點C運動，在AB上以每秒8個單位長度的速度運動，在BC上以每秒2個單位長度的速度運動，點Q從點C出發，沿CA方向以每秒個單位長度的速度運動，兩點同時出發，當點P停止時，點Q也隨之停止．設點P運動的時間為t秒．

（1）求線段AQ的長；（用含t的代數式表示）

（2）當點P在AB邊上運動時，求PQ與△ABC的一邊垂直時t的值；

（3）設△APQ的面積為S，求S與t的函數關系式；

（4）當△APQ是以PQ為腰的等腰三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）4﹣t；（2）當點P在AB邊上運動時，PQ與△ABC的一邊垂直時t的值是t=0或或；（3）S與t的函數關系式為：S=；（4）t的值為或．

【解析】分析：（1）根據勾股定理求出AC的長，然后由AQ=AC-CQ求解即可；

（2）當點P在AB邊上運動時，PQ與△ABC的一邊垂直，有三種情況：當Q在C處，P在A處時，PQ⊥BC；當PQ⊥AB時；當PQ⊥AC時；分別求解即可；

（3）當P在AB邊上時，即0≤t≤1，作PG⊥AC于G，或當P在邊BC上時，即1＜t≤3，分別根據三角形的面積求函數的解析式即可；

（4）當△APQ是以PQ為腰的等腰三角形時，有兩種情況：①當P在邊AB上時，作PG⊥AC于G，則AG=GQ，列方程求解；②當P在邊AC上時， AQ=PQ，根據勾股定理求解.

詳解：（1）如圖1，

Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8，

∴BC=AB=4，

∴AC=，

由題意得：CQ=t，

∴AQ=4﹣t；

（2）當點P在AB邊上運動時，PQ與△ABC的一邊垂直，有三種情況：

①當Q在C處，P在A處時，PQ⊥BC，此時t=0；

②當PQ⊥AB時，如圖2，

∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，

∴cos30°=，

∴，

t=；

③當PQ⊥AC時，如圖3，

∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，

∴cos30°=，

∴

t=；

綜上所述，當點P在AB邊上運動時，PQ與△ABC的一邊垂直時t的值是t=0或或；

（3）分兩種情況：

①當P在AB邊上時，即0≤t≤1，如圖4，作PG⊥AC于G，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，

∴PG=4t，

∴S△APQ=AQPG=（4﹣t）4t=﹣2t2+8t；

②當P在邊BC上時，即1＜t≤3，如圖5，

由題意得：PB=2（t﹣1），

∴PC=4﹣2（t﹣1）=﹣2t+6，

∴S△APQ=AQPC=（4﹣t）（﹣2t+6）=t2；

綜上所述，S與t的函數關系式為：S=；

（4）當△APQ是以PQ為腰的等腰三角形時，有兩種情況：

①當P在邊AB上時，如圖6，

AP=PQ，作PG⊥AC于G，則AG=GQ，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，

∴PG=4t，

∴AG=4t，

由AQ=2AG得：4﹣t=8t，t=，

②當P在邊AC上時，如圖7，AQ=PQ，

Rt△PCQ中，由勾股定理得：CQ2+CP2=PQ2，

∴，

t=或﹣（舍），

綜上所述，t的值為或．