Question

如圖，已知直線l₁：與直線 l₂：y=-2x+16相交于點C，直線l₁、l₂分別交x軸于A、B兩點，矩形DEFG的頂點D、E分別在l₁、l₂上，頂點F、G都在x軸上，且點G與B點重合。

（1）求△ABC的面積；

（2）求矩形DEFG的邊DE與EF的長；

（3）若矩形DEFG從原地出發，沿x軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由，得x=-4，

∴A點的坐標為（-4，0）

由-2x+16=0，得x=8

∴AB=8-(-4)=12

由，解得，

∴C點的坐標為（5，6），

∴;

(2)∵點D在l₁上且x_D=x_B=8，

∴，

∴D點的坐標為（8，8），

又∵點E在l₂上且y_E=y_D=8，

∴-2x_E+16=8，

∴x_E=4，

∴E點的坐標為（4，8），

∴DE=8-4=4，EF=8；

（3）①當0≤t<3時，如圖（1），矩形DEFG與△ABC重疊部分為五邊形CHFGR（當t=0時，為四邊形CHFG）

過C作CM⊥AB于M，則Rt△RGB∽Rt△CMB，

∴，即，∴RG=2t，

∵，

∴，

即；

②當3≤t<8時，如圖（2），矩形DEFG與△ABC重疊部分為梯形HFGR，過C作CM⊥AB于M，則Rt△ARG∽Rt△ACM，

∴，∴，∴，

又∵Rt△AHF∽Rt△ACM，

∴，∴，∴，

∴

即；

③當8≤t≤12時，如圖（3），矩形DEFG與△ABC重疊部分為三角形AGR（當t=12時為一個點），過C作CM⊥AB于M，則Rt△ARG∽Rt△ACM，

∴,∴，∴，

∴.

試題主要考查對求二次函數的解析式及二次函數的應用，求一次函數的解析式及一次函數的應用，三角形的周長和面積，相似三角形的性質等。