Question

如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于點F．求證：OE＝OF．

對于上述命題，若點E在AC的延長線上，如圖，AG⊥EB交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其他條件不變，則結論OE＝OF還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴∠BOE＝∠AOF＝，BO＝AO，(正方形的對角線相等且互相垂直平分) 　　又∵AG⊥EB， 　　∴∠AEG＋∠GAE＝，∠AFO＋∠OAF＝， 　　∴∠AEG＝∠AFO． 　　在△AOF和△BOE中， 　　 　　∴△AOF≌△BOE(AAS) 　　∴OE＝OF． 　　(2)當點E在AC的延長線上時，OE＝OF仍成立． 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴∠BOE＝∠AOF＝，BO＝AO， 　　∴∠F＋∠FAO＝． 　　又∵AG⊥EB， 　　∴∠E＋∠FAE＝， 　　∴∠F＝∠E．(同角的余角相等) 　　在△AOF和△BOE中， 　　 　　∴△AOF≌△BOE(AAS) 　　∴OE＝OF． 　　思路分析：第一問要證OE＝OF，利用正方形的性質和三角形全等很容易完成．而第二問是“開放性”試題，由于它的結論不確定，所以靈活性很強，對于開發智力，發展能力很有好處，這類試題在中考中越來越受到重視．

提示：

點評：從本題我們可以看出，正方形是最特殊的四邊形，有著非常好的性質，因此正方形不但是考試的重點，而旦在實際生活中應用非常廣泛．