Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D為BC上一點，過點D作DE⊥AB于E．

（1）連接AD，取AD中點F，連接CF，CE，FE，判斷△CEF的形狀并說明理由

（2）若BD=CD，將△BED繞著點D逆時針旋轉n°（0＜n＜180），當點B落在Rt△ABC的邊上時，求出n的值．

Answer 1

【答案】（1）△CEF是等邊三角形．（2）n=60°或135°

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半證得FC=FE即可，再證明∠CFE=60°，從而進行判斷；

（2）根據∠B=60°，∠DEB=90°，可知BD=DE，又BD=CD，則DC=DE，將△BED繞著點D逆時針旋轉n°（0＜n＜180），當點B落在Rt△ABC的邊上時，∠CDE等于旋轉角，∠CDE=180°-∠BDE=180°-30°=150°．

（1）∵∠ACB=90°，F是AD中點，

∴FC=AD，

∵DE⊥AB，F是AD中點，

∴EF=AD，

∴FC=FE，

∴△CEF是等腰三角形；

又EF=AF，CF=AF，故∠CFE=2∠CAB=60°

從而可知：△CEF是等邊三角形．

（2）n=60°或135°

理由：①將△BED繞著點D逆時針旋轉n°（0＜n＜180），當點B落在Rt△ABC的邊AC上時，此時記為B'點，如圖，

△B'CD為直角三角形，

又∵BD=CD，

故∠B'DC=45°；從而旋轉角∠BDB'=180°-∠B'DC=180°-45°=135°

②當B'在邊AB上時，有DB=DB'，又∠B=60°，故可知△DBB'為等邊三角形，所以∠BDB'=60°，即n=60°.

如圖，