Question

19、如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，且OA=OC+2，E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交y軸于D點，過D作DF⊥AE于點F．
（1）求OA、OC的長；
（2）求證：DF為⊙O′的切線；
（3）小亮在解答本題時，發現△AOE是等腰三角形，且△AOE的面積是四邊形ABCO面積的一半．由此，他根據自己過去解題的實踐斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的P點，使△AOP既是等腰三角形，又和△AOE的面積相等”．你同意他的斷言嗎？若同意，請你求出所有滿足上述條件的點P的坐標，若不同意，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的面積和OA=OC+2，得到OC的方程，求得OC的長，進一步求得OA的長；
（2）連接O′D，DE．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ODE=90°，則DE∥AB∥OC，根據平行線等分線段定理，得AD=OD．根據三角形的中位線定理，得O′D∥AE，結合DF⊥AE，得O′D⊥DF，則DF為⊙O′的切線；
（3）同意．分兩種情況考慮：AO=AP或AO=OP．

解答：（1）解：∵OA•OC=15，OA=OC+2，
∴OC（OC+2）=15，
解，得OC=3或OC=-5（負值舍去）．
∴OA=5，OC=3．

（2）證明：∵OE為直徑的⊙O′交y軸于D點，
∴∠ODE=90°．
∵四邊形ABCO是矩形，
∴∠OAB=∠AOC=90°．
∴DE∥AB∥OC．
又BE=CE，
∴AD=OD，
又O′D=O^′O=O′E，
∴O′D∥AE．
又DF⊥AE，
∴O′D⊥DF．
∴DF為⊙O′的切線．

（3）同意；①AO=AP時，P₁（3，9），P₂（3，1）；
②AO=PO時，P₃（3，4），P₄（3，-4）．

點評：此題綜合運用了一元二次方程的知識、平行線等分線段定理、三角形的中位線定理以及切線的判定定理．