Question

【題目】已知是一段圓弧上的兩點，且在直線的同側，分別過這兩點作的垂線，垂足為

是上一動點，連接，且.

（1）如圖①，如果，且，求的長;

（2）如圖②，若點恰為這段圓弧的圓心，則線段之間有怎樣的等量關系?請寫出你的結論并予以證明.再探究:當分別在直線兩側且，而其余條件

不變時，線段之間又有怎樣的等量關系?請直接寫出結論，不必證明.

Answer 1

【答案】(1) 2；(2) （i）猜想：AB+CD=BC； （ii）當A，D分別在直線l兩側時，有如下等量關系：AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）．

【解析】分析：（1）根據兩角對應相等證明Rt△ABE∽Rt△ECD，然后根據相似三角形的對應邊的比相等求得CD的長，再運用勾股定理就可計算出AD的長；
（2）可以證明Rt△ABE≌Rt△ECD，得到對應線段相等，根據圖形就可得到線段之間的和差關系．

詳解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠BEA．
又∵∠BAE=90°-∠BEA，
∴∠BAE=∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴．
∵BE：EC=1：3 BC=16，
∴BE=4，EC=12．
又∵AB=6，
∴CD===8．
在Rt△AED中，由勾股定理得
AD==2．
（2）（i）猜想：AB+CD=BC．
證明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于點C，
∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，

∠ABE=∠ECD=90°，∠BAE=∠CED，AE=ED，，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．

∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．
（ii）當A，D分別在直線l兩側時，線段AB，BC，CD有如下等量關系：
AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）．