Question

已知二次函數y=（x-1）²-4的圖象如圖所示．
（1）求拋物線與x軸交點A、B的坐標（點A在點B的左側），及與y軸的交點C的坐標；
（2）設拋物線的頂點為點D，求△BCD的面積S；
（3）在拋物線上是否存在點E，使以A、B、C、E為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出點E的坐標，并說明理由；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）y=0，即可求得拋物線與x軸的交點坐標；x=0，可求得拋物線與y軸的交點坐標；
（2）易得△BCD為直角三角形，根據三角形的面積公式即可求得△BCD的面積S；
（3）利用當AB∥CE時，②當AC∥BE時，③當AE∥BC時分別求出即可．
解答：解：（1）0=（x-1）²-4，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
當x=0時，y=-3，
∴C（0，-3）；

（2）∵y=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
∴BC=，BD=，CD=，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD的面積S=××=3；

（3）∵A、B、C、E為頂點的四邊形是梯形，
∴①當AB∥CE時，
∴點E的縱坐標為-3，
∴-3=（x-1）²-4，
解得x₁=2，x₂=0，
∴點E的坐標為（2，-3）．
②當AC∥BE時，
由B，C，的坐標可求直線BC的解析式為：y=x-3，
故直線AE的解析式為：y=x+b，
將A（-1，0）代入得出：y=x+1，
將兩函數聯立得出：x+1=（x-1）²-4，
解得：x₁=-1，x₂=4，
當x=4時y=5，
故E點坐標為：（4，5），
③當AE∥BC時，直線AC的解析式為：y=-3x-3，
直線BE的解析為：y=-3x+9，
將兩函數聯立得出：-3x+9=（x-1）²-4，
解得：x₁=-4，x₂=3，
當x=-4時y=21，
故E點坐標為：（-4，21），
綜上所述：E點坐標為：（2，-3），（4，5），（-4，21）．
點評：用到的知識點為：拋物線與x軸的交點的縱坐標為0，與y軸交點的橫坐標為0；平行與x軸的直線上的點的縱坐標相等．