Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點，，，點為中點，連接、，并延長交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若拋物線與拋物線關于軸對稱，在拋物線位于第二象限的部分上取一點，過點作軸，垂足為點，是否存在這樣的點，使得與相似？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，，

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y=ax2＋bx＋c，將A（1，0），B（2，0），C（0，2）代入拋物線的解析式即可解答；

（2）求出拋物線w2的解析式y=x2x＋2，可知點D坐標，證明△AOC∽△DOB，可證出BD⊥AC，則，設F（m,0），，m＜0，若△QFO與△CDE相似，可分兩種情況考慮，①是△QFO∽△DEC時，②是△QFO∽△CED時，列出相似比即可求出m的值．

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2＋bx＋c，將A（1，0），B（2，0），C（0，2）代入拋物線的解析式得：，
解得：a=1，b=1，c=2，
∴拋物線w1的表達式為y=x2＋x＋2；
（2）∵拋物線w1與拋物線w2關于y軸對稱，
∴拋物線w2的解析式y=x2x＋2，
∵點D為OC中點，C（0，2），
∴D（0，1），
∵A（1，0），B（2，0），
∴，

∵∠AOC=∠BOD=90°，

∴△AOC∽△DOB，

∴∠ACO=∠DBO，

∴BD⊥AC，

∴，

設F（m,0），，m＜0，若△QFO與△CDE相似，可分兩種情況考慮：

①△QFO∽△DEC時，

∴，

解得：（舍去）

∴，

②△QFO∽△CED時，

，

∴，

解得：（舍去）

∴F（-1,0）；

綜上所述： ，