Question

（2012•襄陽(yáng)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點(diǎn)，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點(diǎn)F．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）當(dāng)AB與AC具有什么位置關(guān)系時(shí)，四邊形AECD是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出此時(shí)菱形AECD的面積．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，由平行線的性質(zhì)，可證得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠EAD=∠EDA，則可得∠DEC=∠AEB，繼而證得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易證得四邊形AECD是菱形；過(guò)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，易得△ABE是等邊三角形，即可求得答案AG的長(zhǎng)，繼而求得菱形AECD的面積．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）當(dāng)AB⊥AC時(shí)，四邊形AECD是菱形．
證明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形．
∴AB

∥

.

ED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴平行四邊形AECD是菱形．
過(guò)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=

3

，
∴S_菱形AECD=EC•AG=2×

3

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．