Question

如圖在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC三邊于點G、E、F．
（1）求證：F是BC的中點．
（2）判定∠A與∠GEF的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DF，由∠ACB=90°可知△ACB是Rt△，再根據D是AB的中點可知BD=CD=AD，由圓周角定理可知DF⊥BC，故可得出F是BC的中點；
（2）由D、F是AB、BC的中點可知DF∥AC，故可得出∠A=∠BDF，再由圓周角定理得出∠BDF=∠GEF，故可得出結論．
解答：證明：（1）連接DF，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是Rt△，
又∵D是AB的中點，
∴BD=CD=AD，
又∵CD是⊙O的直徑，
∴DF⊥BC，
∴BF=CF 即F是BC的中點；
     
（2）∵D、F是AB、BC的中點，
∴DF∥AC，
∴∠A=∠BDF，
又∵∠BDF=∠GEF，
∴∠A=∠GEF．
點評：本題考查的是圓周角定理、三角形的中位線定理等知識，根據題意作出輔助線，構造出三角形的中位線是解答此題的關鍵．