Question

以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連接這四個點，得四邊形EFGH．
（1）如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，我們發現四邊形EFGH是正方形；如圖2，當四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；
（2）如圖3，當四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①試用含α的代數式表示∠HAE；
②求證：HE=HG；
③四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求出四邊形是矩形，根據勾股定理求出AH=HD=AD，DG=GC=CD，CF=BF=BC，AE=BE=AB，推出EF=FG=GH=EH，根據正方形的判定推出四邊形EFGH是正方形即可；
（2）①根據平行四邊形的性質得出，∠BAD=180°-α，根據△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根據△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DG=CD，平行四邊形的性質得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，根據SAS證△HAE≌△HDG，根據全等三角形的性質即可得出HE=HG；
③與②證明過程類似求出GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，證△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出結論．
解答：（1）解：四邊形EFGH的形狀是正方形．

（2）解：①∠HAE=90°+α，
在平行四邊形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-α，
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-（180°-a）=90°+α，
答：用含α的代數式表示∠HAE是90°+α．

②證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=AB，DG=CD，
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDG，
∴HE=HG．

③答：四邊形EFGH是正方形，
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．
點評：本題主要考查對正方形的判定，等腰直角三角形的性質，菱形的判定和性質，全等三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．