Question

已知拋物線y=x²+2mx+m-7與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，則關于x的方程x²+（m+1）x+m²+5=0的根的情況是（ ）
A．有兩個正數根
B．有兩個負數根
C．有一個正根和一個負根
D．無實數根

Answer 1

【答案】分析：因為拋物線y=x²+2mx+m-7與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，由此求出m取值范圍，進而由方程x²+（m+1）x+m²+5=0的“△”確定根的情況．
解答：解：∵拋物線y=x²+2mx+m-7與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，
∴關于x的方程x²+2mx+m-7=0有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac＞0，
即：（2m）²-4（m-7）＞0，
∴m為任意實數①
設拋物線y=x²+2mx+m-7與x軸的兩個交點的坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是關于x的方程x²+2mx+m-7=0的兩個不相等的實數根，
由根與系數關系得：α+β=-2m，αβ=m-7，
∵拋物線y=x²+2mx+m-7與x軸的兩個交點分別位于點（1，0）的兩旁
∴α＜1，β＞1
∴（α-1）（β-1）＜0
∴αβ-（α+β）+1＜0
∴（m-7）+2m+1＜0
解得：m＜2②
由①、②得a的取值范圍是m＜2；
∵方程x²+（m+1）x+m²+5=0的根的判別式為：
（m+1）²-4×（m²+5），
=2m-4，
∵m＜2，
∴2m-4＜0，
∴方程沒有實數根，
故選D．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，注：當拋物線y=ax²+bx+c與軸有兩個交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數根即△＞0；當拋物線y=ax²+bx+c與軸有一個交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根即△=0；當拋物線y=ax²+bx+c與軸無交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0無實數根即△＜0．