Question

如圖①所示,已知、為直線上兩點,點為直線上方一動點,連接、,分別以、為邊向外作正方形和正方形,過點作于點,過點作于點.

 (1)如圖②,當點恰好在直線上時(此時與重合),試說明；

(2)在圖①中,當、兩點都在直線的上方時,試探求三條線段、、之間的數量關系,并說明理由；

(3)如圖③,當點在直線的下方時,請直接寫出三條線段、、之間的數量關系.(不需要證明)

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在正方形中,∵， ，

∴ ………………………………………………………………1分

   又∵, ∴,∴,

∴  ……………………………………………………………………2分

又∵四邊形為正方形,∴,∴……3分

在與中,,

∴≌,∴………………4分

（2） ……………………………5分

過點作，垂足為，

由（1）知：≌，≌……………………………………6分

∴,,∴ ………………………8分

  （3）  …………………………………………………………………9分

(說明:其它解法,仿此得分)

【解析】（1）由四邊形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAB，然后利用AAS證得△ADD₁≌△CAB，根據全等三角形的對應邊相等，即可得DD₁=AB；

（2）首先過點C作CH⊥AB于H，由DD₁⊥AB，可得∠DD₁A=∠CHA=90°，由四邊形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAH，然后利用AAS證得△ADD₁≌△CAH，根據全等三角形的對應邊相等，即可得DD₁=AH，同理EE₁=BH，則可得AB=DD₁+EE₁．

（3）證明方法同（2），易得AB=DD₁-EE₁．