Question

（1996•山東）AB為⊙O直徑，BC為切線，CO平行于弦AD，OA=r．
①求證：DC為⊙O切線；
②求AD•OC；
③若AD+OC=

9

2

r，求CD長．

Answer 1

分析：①連接OD，要證明DC是⊙O的切線，只要證明∠ODC=90°即可．根據題意，可證△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可證DC是⊙O的切線；
②連接BD，OD．先根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△ADB∽△ODC，再根據相似三角形對應邊成比例即可得到AD•OC的值；
③先解方程組

AD+OC= 9 2 r AD•OC=2r2

，求出OC的長，然后在Rt△ODC中，利用勾股定理即可得到CD的長．

解答：①證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，
∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC與△ODC中，

OB=OD ∠BOC=∠DOC OC=OC

，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切線；

②解：連接BD，OD．
∵在△ADB與△ODC中，

∠A=∠COD ∠ADB=∠ODC=90°

，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD=AB：OC，
∴AD•OC=OD•AB=r•2r=2r²；

（3）解：由（2）得AD•OC=2r²，與AD+OC=

9

2

r聯立，
解得AD=4r，OC=

1

2

r或AD=

1

2

r，OC=4r．
∵AD＜OC，
∴AD=

1

2

r，OC=4r符合題意．
∴CD=

OC2-OD2

=

16r2-r2

=

15

r．

點評：本題是圓的綜合題，其中涉及到切線的判定，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．