Question

在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過點D作DF⊥BC，交AB的延長線于E，垂足為F．
（Ⅰ）如圖①，求證直線DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）如圖②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接OD，由AB=BC，OA=OD，得到∠A=∠C，∠A=∠ADO，則∠C=∠ADO，得到OD∥BC；而DF⊥BC，則∠ODE=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；
（Ⅱ）連接BD，AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理的推論得到∠ADB=90°．而AB=BC，則AD=DC=4．在Rt△ADB中，利用勾股定理可計算出BD=3，再利用等積法得到AB•DH=AD•DB，可計算出DH，然后根據垂徑定理得到DG=2DH．

解答：（Ⅰ）證明：連接OD，如圖，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠C=∠ADO．
∴OD∥BC．
∵DF⊥BC，
∴∠ODE=90°．
∴直線DE是⊙O的切線；

（Ⅱ）解：連接DB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵AC=8，
∴AD=4．
在Rt△ADB中，BD=

AB 2-AD2

=

52-42

=3，
∵DG⊥AB于H，
由三角形面積公式，得AB•DH=AD•DB．
∴DH=

4×3

5

=

12

5

，
∵AB⊥DG，
∴DG=2DH=

24

5

．

點評：本題考查了圓的切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理的推論以及勾股定理．