Question

已知x₁、x₂、…、x₄₀都是正整數，且x₁+x₂+…+x₄₀=58，若x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最大值為A，最小值為B，則A+B的值等于

 

．

Answer 1

分析：根據把58寫成40個正整數的和的寫法只有有限種可知，x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最小值和最大值是存在的，設x₁≤x₂≤…≤x₄₀，再根據完全平方公式可得到（x₁-1）²+（x₂+1）²=x₁²+x₂²+2（x₂-x₁）+2＞x₁²+x₂²，進而可得到當x₄₀=19時，x₁²+x₂²++x₄₀²取得最大值；同理設存在兩個數x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i≤j≤40），則（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_j-x_i-1）＜x_i²+x_j²，當x₁=x₂=x₂₂=1，x₂₃=x₂₄=x₄₀=2時，x₁²+x₂²+…+x₄₀²取得最小值．

解答：解：因為把58寫成40個正整數的和的寫法只有有限種，
故x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最小值和最大值是存在的．
不妨設x₁≤x₂≤…≤x₄₀，若x₁＞1，則x₁+x₂=（x₁-1）+（x₂+1），且（x₁-1）²+（x₂+1）²=x₁²+x₂²+2（x₂-x₁）+2＞x₁²+x₂²，
所以，當x₁＞1時，可以把x₁逐步調整到1，這時x₁²+x₂²+…+x₄₀²將增大；
同樣地，可以把x₂，x₃，x₃₉逐步調整到1，這時x₁²+x₂²+…+x₄₀²將增大．
于是，當x₁，x₂，x₃₉均為1，x₄₀=19時，x₁²+x₂²+…+x₄₀²取得最大值，即A=

12+12++12

39個

+19²=400．
若存在兩個數x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i≤j≤40），則（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_j-x_i-1）＜x_i²+x_j²，
這說明在x₁，x₃，x₃₉，x₄₀中，
如果有兩個數的差大于1，則把較小的數加1，較大的數減1，這時，x₁²+x₂²+…+x₄₀²將減小．
所以，當x₁²+x₂²+…+x₄₀²取到最小時，x₁，x₂，x₄₀中任意兩個數的差都不大于1．
于是當x₁=x₂=x₂₂=1，x₂₃=x₂₄=x₄₀=2時，x₁²+x₂²+…+x₄₀²取得最小值，
即B=

12+12++12

22個

+

22+22++22

18個

=94，
故A+B=494．

點評：本題考查的是整數問題的綜合運用，能根據完全平方公式得出其最大、最小值是解答此題的關鍵，此題難度較大．