Question

（2005•陜西）已知：直線a∥b，P、Q是直線a上的兩點，M、N是直線b上兩點．
（1）如圖①，線段PM、QN夾在平行直線a和b之間，四邊形PMNQ為等腰梯形，其兩腰PM=QN．請你參照圖①，在圖②中畫出異于圖①的一種圖形，使夾在平行直線a和b之間的兩條線段相等；
（2）我們繼續探究，發現用兩條平行直線a、b去截一些我們學過的圖形，會有兩條“曲線段相等”（曲線上兩點和它們之間的部分叫做“曲線段”．把經過全等變換后能重合的兩條曲線段叫做“曲線段相等”）．請你在圖③中畫出一種圖形，使夾在平行直線a和b之間的兩條曲線段相等；
（3）如圖④，若梯形PMNQ是一塊綠化地，梯形的上底PQ=m，下底MN=n，且m＜n．現計劃把價格不同的兩種花草種植在S₁、S₂、S₃、S₄四塊地里，使得價格相同的花草不相鄰．為了節省費用，園藝師應選擇哪兩塊地種植價格較便宜的花草？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據夾在兩條平行線間的線段相等，進行畫圖或構造等腰三角形等均可；
（2）只要畫出一個軸對稱圖形和兩條平行線相交形成一個軸對稱圖形即可；
（3）根據題意，即是比較（S₁+S₂）和（S₃+S₄）的大小，根據平行得到相似三角形，進一步求得相似三角形的相似比，根據三角形的面積公式和相似三角形的面積比等于相似比的平方，運用其中一個三角形的面積表示出其它三個三角形的面積，再進一步運用求差法進行比較大小．
解答：解：（1）（3分）

（2）（6分）

（3）∵△PMN和△QMN同底等高，
∴S_△PMN=S_△QMN．
∴S₃+S₂=S₄+S₂．
∴S₃=S₄．（7分）
∵△POQ∽△NOM，
∴==，
．（8分）
∴S₂=．
∵，
∴．（9分）
∴（S₁+S₂）-（S₃+S₄）=S₁+S₁-2•S₁=S₁（1+-2•）=S₁（1-）²（10分）
∵m＜n，
∴（）²＞0．
∴S₁+S₂＞S₃+S₄．（11分）
故園藝師應選擇S₁和S₂兩塊地種植價格較便宜的花草，因為這兩塊的面積之和大于另兩塊地的面積之和．（12分）
點評：此題中能夠根據三角形的面積公式和相似三角形的面積比是相似比的平方找到三角形中的面積關系．