Question

在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF．
（1）如圖，當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長；
（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：
① ∠PEF的大小是否發生變化？請說明理由；
② 直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經過的路線長．

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=，．
∵，
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2．……………………………………………………………………2分
（2）① ∠PEF的大小不變．
理由：過點F作FG⊥AD于點G．
∴四邊形ABFG是矩形．
∴．
∴GF=AB=2，．
∵，
∴．
∴．
∴ △APE∽△GFP.  …………………………………………………4分
∴．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．……………………………5分
即tan∠PEF的值不變．
∴∠PEF的大小不變．……………………………………………6分
② . ……………………………………………………7分解析:
（1）先求得△ABP∽△DPC．通過比例求出此時PC的長
（2）過點F作FG⊥AD于點G．△APE∽△GFP，得，在Rt△EPF中，tan∠PEF=即tan∠PEF的值不變．
∴∠PEF的大小不變．