Question

如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交半圓O于點E，交AC于點C，使∠BED=∠C．
（1）判斷直線AC與圓O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AC=8，，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OC⊥AD，那么∠OAD+∠AOC=90°，又∠BED=∠BAD，且∠BED=∠C，于是∠OAD=∠C，從而有∠C+∠AOC=90°，再利用三角形內角和定理，可求∠OAC=90°，即AC是⊙O的切線；
（2）連接BD，AB是直徑，那么∠ADB=90°，在Rt△AOC中，由于AC=8，∠C=∠BED，cos∠BED=，利用三角函數值，可求OA=6，即AB=12，在Rt△ABD中，由于AB=12，∠OAD=∠BED，cos∠BED=，同樣利用三角函數值，可求AD．
解答：解：（1）AC與⊙O相切．
證明：∵弧BD是∠BED與∠BAD所對的弧，
∴∠BAD=∠BED，
∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠BED+∠AOC=90°，
即∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AB⊥AC，即AC與⊙O相切；

（2）解：連接BD．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△AOC中，∠CAO=90°，
∵AC=8，∠ADB=90°，，
∴AO=6，
∴AB=12，
在Rt△ABD中，∵cos∠OAD=cos∠BED=，
∴AD=AB•cos∠OAD=12×=．
點評：本題利用了同圓中同弧所對的圓周角相等、等量代換、切線的判定、直徑所對的圓周角等于90°、三角函數值．