Question

如圖，已知在△ABC中，點D、E分別是AB、AC上的點，以AE為直徑的⊙O與過B點的⊙P外切于點D，若AC和BC邊的長是關于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的兩根，且25BC•sinA=9AB，
（1）求△ABC三邊的長；
（2）求證：BC是⊙P的切線；
（3）若⊙O的半徑為3，求⊙P的半徑．

Answer 1

（1）解：∵AC和BC邊的長是關于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的兩根，
∴AC+BC=AB+4，AC•BC=4AB+8，
∴AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC•BC=（AB+4）²-2（4AB+8）=AB²
∴∠C=90°，
∴sinA=，
∵25BC•sinA=9AB，
∴9AB²=25BC²
∴，
設BC=3k，AB=5k，則AC=4k，
∴4k+3k=5k+4，
∴k=2，
∴BC=6，AB=10，AC=8；

（2）證明：連接BP，PO，如圖1，
∵⊙O與過B點的⊙P外切于點D，
∴D在OP上，
∵OA=OD，PD=PB，
∴∠A=∠ADO，∠PDB=∠PBD，
∴∠PBD=∠A，
∴PB∥AC，
∵∠C=90°，
∴PB⊥BC，
∴BC是⊙P的切線；

（3）設⊙P的半徑為r，過P作PH⊥AC于H，如圖2，
∴PH=BC=6，OH=8-3-r=5-r，
在Rt△OPH中，
∴OP²=PH²+OH²，即（3+r）²=（5-r）²+6²，
解得r=．
分析：（1）根據一元二次方程根與系數的關系得到AC+BC=AB+4，AC•BC=4AB+8，則有AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC•BC=（AB+4）²-2（4AB+8）=AB²，根據勾股定理的逆定理得到∠C=90°，再利用正弦的定義得到sinA=，而25BC•sinA=9AB，則，然后設BC=3k，AB=5k，則AC=4k，利用AC+BC=AB+4即可求出k，從而得到△ABC三邊的長；
（2）連接BP，PO，根據兩圓相切的性質得到D在OP上，易證得∠PBD=∠A，則PB∥AC，得到PB⊥BC，根據切線的判定定理得到結論；
（3）設⊙P的半徑為r，過P作PH⊥AC于H，則PH=BC=6，OH=8-3-r=5-r，在Rt△OPH中，利用勾股定理得到關于r的方程，解方程即可．
點評：本題考查了兩圓相切的性質：兩圓相切，連心線必過切點；也考查了一元二次方程根與系數的關系、三角函數的定義和切線的判定以及勾股定理．