Question

一年共有12個月，閏年的二月是29天，又有4個小月，7個大月，所以閏年共有29×1+30×4×31×7=366（天）．反過來思考：如果非負整數a，b，c滿足等式：29a+30b+31c=366（*），那么a+b+c=______，這樣的數組（a，b，c）共有______組，它們分別是______．

Answer 1

∵一年是12個月，
∴a+b+c=12
∴由題意得：

29a+30b+31c=366① a+b+c=12              ② 0≤a≤12，0≤b≤12，0≤c≤12．且a，b，c為整數

由②×29，得
29a+29b+29c=348          ③
由①-③，得
b+2c=18
∴b=18-2c
∴0≤18-2c≤12
∴3≤c≤9且為整數．
當c=3時，b=12，a=-3，不符合題意，應舍去．
當c=4時，b=10，a=-2，不符合題意，應舍去．
當c=5時，b=8，a=-1，不符合題意，應舍去．
當c=6時，b=6，a=0．
當c=7時，b=4，a=1．
當c=8時，b=2，a=2．
當c=9時，b=0，a=3．
∴原方程組的解為：

a=0 b=6 c=6

，

a=1 b=4 c=7

，

a=2 b=2 c=8

，

a=3 b=0 c=9

共4組．
故答案為：12，4，（0，6，6），（1，4，7），（2，2，8），（3，0，9）．