Question

（2009•威海）一次函數y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點M，N，與反比例函數y=的圖象相交于點A，B．過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E；過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點K，連接CD．
（1）若點A，B在反比例函數y=的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：
①S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}；②AN=BM．
（2）若點A，B分別在反比例函數y=的圖象的不同分支上，如圖2，則AN與BM還相等嗎？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：點A，B在反比例函數y=的圖象上，所以矩形AEOC、矩形BDOF面積相等，由圖看出矩形OCKD是它們的公共部分，由此可知S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}，根據面積為長×寬，易得AK•DK=BK•CK可知AB∥CD，從而四邊形ACDN、BDCM為平行四邊形，所以AN=CD=BM．
解答：（1）證明：①∵AC⊥x軸，AE⊥y軸，
∴四邊形AEOC為矩形．
∵BF⊥x軸，BD⊥y軸，
∴四邊形BDOF為矩形．
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴四邊形AEDK，DOCK，CFBK均為矩形．（1分）
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁•y₁=k，
∴S_矩形AEOC=OC•AC=x₁•y₁=k
∵OF=x₂，FB=y₂，x₂•y₂=k，
∴S_矩形BDOF=OF•FB=x₂•y₂=k．
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，S_矩形CFBK=S_矩形BDOF-S_矩形DOCK，
∴S_矩形AEDK=S_矩形CFBK．（2分）
②由（1）知：S_矩形AEDK=S_矩形CFBK．
∴AK•DK=BK•CK．
∴．（4分）
∵∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD．（5分）
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（6分）
∵AC∥y軸，
∴四邊形ACDN是平行四邊形．
∴AN=CD．（7分）
同理BM=CD．
∴AN=BM．（8分）

（2）解：AN與BM仍然相等．（9分）
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF．（10分）
∴AK•DK=BK•CK．
∴．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（11分）
∵AC∥y軸，
∴四邊形ANDC是平行四邊形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．（12分）
點評：此題綜合考查了反比例函數的性質，平行四邊形等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．