Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC和外角的平分線，BE⊥AE．
（1）求證：DA⊥AE；
（2）試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據角平分線的性質，及∠BAC+∠BAF=180°可求出∠DAE=90°，即DA⊥AE；
（2）要證AB=DE，需證四邊形AEBD是矩形，由AB=AC，AD為∠BAC的角平分線，可知AD⊥BC，又因為DA⊥AE，BE⊥AE故，
所以∠AEB=90°，∠DAE=90°即證四邊形AEBD是矩形．
解答：（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC，
又∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠BAF，
∵∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠BAD+∠BAE=（∠BAC+∠BAF）=×180°=90°，
即∠DAE=90°，
故DA⊥AE．

（2）解：AB=DE．理由是：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，故∠ADB=90°
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=90°，∠DAE=90°，
故四邊形AEBD是矩形．
∴AB=DE．
點評：本題考查的是角平分線，等腰三角形的性質及矩形的判定定理．有一定的綜合性．