Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，G為CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于H．
（1）求證：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
（2）試問當點G運動到什么位置時，BH垂直平分DE？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的邊的性質和直角可通過SAS判定△BCG≌△DCE，從而利用全等的性質得到∠BHD=90°即BH⊥DE；
（2）解題關鍵是利用垂直平分線的性質得出EG=DG，從而找到EG=

2

x，DG=

2

x，DG+CG=CD．列方程求解即可．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，∠BCG=90°，BC=CD
在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE
在△BCG和△DCE中，

BC=DC ∠BCG=∠DCE CG=CE

∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE；

（2）解：當GC=

2

-1時，BH垂直平分DE．理由如下：
連接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
設CG=x
∵CE=CG，∠DCE=90°
∴EG=

2

x，DG=

2

x
∵DG+CG=CD
x+

2

x=1解得x=

2

-1
∴GC=

2

-1時，BH垂直平分DE．

點評：此題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．特殊圖形的特殊性質要熟練掌握．