Question

（2007•濱州）如圖1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O為BC的中點，動點E在BA邊上自由移動，動點F在AC邊上自由移動．
（1）點E，F的移動過程中，△OEF是否能成為∠EOF=45°的等腰三角形？若能，請指出△OEF為等腰三角形時動點E，F的位置；若不能，請說明理由；
（2）當∠EOF=45°時，設BE=x，CF=y，求y與x之間的函數解析式，寫出x的取值范圍；
（3）在滿足（2）中的條件時，若以O為圓心的圓與AB相切（如圖2），試探究直線EF與⊙O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）可分三種情況進行討論：
①當OE=EF時；②當OF=EF時；③當OE=OF時；
（2）本題可通過圖中的相似三角形BOE和CFO，可得出關于BO，OC，OE，OF的比例關系式，由于OB=OC=，由此可得出關于y，x的函數關系式．
（3）要證EF是否與圓O相切，那么就要證O到EF和AB的距離是否相等．
解答：解：（1）點E，F移動的過程中，△OEF能成為∠EOF=45°的等腰三角形．
①當OE=EF時，∠OEF是直角，F，A重合，OE是三角形ABC的中位線，E是AB中點．
②當OF=EF時，∠OFE是直角，與①同理，E，A重合，F是AC中點
③當OE=OF時，如果連接OA，那么OA必然平分∠BAC，
∴BO=CO，∠B=∠C=45°，EO=FO，
因為∠EOF=45°，
∴∠BOE+∠COF=∠BOE+∠BEO=135°，
∴∠COF=∠BEO，
∴△BEO≌△COF，
∴BE=CO=BC，
∵AB=AC=2，∴BC=2，由此可得出BE=CF=．

（2）在△OEB和△FOC中，
∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB．
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC．
∴=．
∵BE=x，CF=y，OB=OC==，
∴y=（1≤x≤2）．

（3）EF與⊙O相切．
∵△OEB∽△FOC，
∴=．
∴=．
即=．
又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF．
∴∠BEO=∠OEF．
∴點O到AB和EF的距離相等．
∵AB與⊙O相切，
∴點O到EF的距離等于⊙O的半徑．
∴EF與⊙O相切．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質，切線的判定等知識點，通過相似三角形得出角相等或邊成比例是解題的關鍵．