Question

(1)已知方程x²＋px＋q＝0(p²－4q≥0)的兩根為x₁、x₂，求證：x₁＋x₂＝－p，x₁·x₂＝q．(2)已知拋物線y＝x²＋px＋q與x軸交于點A、B，且過點(―1，―1)，設線段AB的長為d，當p為何值時，d²取得最小值并求出該最小值．

Answer 1

（1）由根與系數的關系 （2）當p=2時，d ²的最小值是4。

試題分析：（1）證明：∵a=1，b=p，c=q，p²﹣4q≥0，
∴。
（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x²+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
設拋物線y=x²+px+q與x軸交于A、B的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0）。
∵d=|x₁﹣x₂|，
∴d²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4 x₁•x₂=p²﹣4q=p²﹣4p+8=（p﹣2）²+4。
∴當p=2時，d ²的最小值是4。
點評：本題考察拋物線，解本題要求考生掌握方程根與系數的關系，用配方法求二次函數的最值