Question

如圖：在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A的坐標為（4，8），D是OC上一點，且CD：OD=3：5，連接AD，過D點作DE⊥AD交OB于E，過E作EF∥AD，交AB于F
（1）求經過A、D兩點的直線解析式；
（2）求EF的長；
（3）在DE所在的直線上是否存在一點P，使AP⊥PE？若存在，則這樣的點P有幾個？并說明理由；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A點的坐標是（4，8），則CD=AB=8，再根據CD：OD=3：5，即可求得OD的長．得到D的坐標，利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）易證△ACD∽△EBF，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
（3）根據已知條件知點P與點D重合，所以符合條件的點P只有一個．

解答：解：（1）∵A點的坐標是（4，8），
∴CD=AB=8
又∵CD：OD=3：5，
∴OD=5，即D得坐標是（0，5）
設經過A、D兩點的直線解析式是y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）．
根據題意得：

b=5 8=4k+b

，
解得

b=5 k= 3 4

．
所以經過A、D兩點的直線解析式為：y=

3

4

x+5；

（2）∵∠ACD=90°，∠ADE=90°，
∴∠CAD+∠ADC=∠ADC+∠ODE=90°，
∴∠CAD=∠ODE．
又∵∠ACD=∠DOE=90°，
∴△ACD∽△DOE，
∴

CD

OE

=

AC

OD

，
∵AC=4，CD=3，OD=5，
∴OE=

CD•OD

AC

=

3×5

4

=

15

4

∴BE=OB-OE=4-

15

4

=

1

4

．
同理△ACD∽△EBF
∴

AD

EF

=

AC

EB

，
在直角三角形ACD中，由勾股定理知AD=5，
∴EF=

AD•EB

AC

=

5× 1 4

4

=

5

16

，即EF=

5

16

；

（3）存在．滿足題設的點P有1個．理由如下：
∵點P在直線DE上，AP⊥DE，且AD⊥DE，
∴點P與點D重合，
∴滿足題設條件的點P只有1個．

點評：本題主要考查了一次函數綜合題．涉及到的知識點有：相似三角形的判定與性質，勾股定理，待定系數法求一次函數的解析式等．解答（3）題時，需要知道”在同一平面內，過直線外一點作已知直線的垂線有且只有一條“．