Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點A（-1，-1）和點B（3，-9），而且點C（m，m）、D（4-m，m）均在圖象上，其中m≠2．
（1）求該二次函數的解析式以及實數m的值；
（2）如果動點P位于拋物線上的弧AB與線段AB所圍成的區域（不包括邊界）內，自點P作與x軸垂直的直線l，l分別與直線AB、拋物線相交于點M、N（M在N的上方），試求線段MN長的最大值．

Answer 1

分析：（1）由待定系數法將點A和點B代入二次函數y=ax²+bx+c得出a，b的關系式，再將點C、D代入，得出a、b、m、n的關系式，再因式分解，從而求得a，b，c，m的值，即得出二次函數的解析式；
（2）可求得直線AB的解析式，設點P（x，y），則M（x，-2x-3），N（x，x²-4x-6），可表示出MN的長度，整理是二次函數，根據二次函數的頂點坐標，求得線段MN長取得最大值．

解答：解：（1）將A（-1，-1）、B（3，-9）代入y=ax²+bx+c，
得到

-1=a-b+c -9=9a+3b+c

，
兩式相減得到：2a+b=-2，
再將C（m，m）、D（4-m，m）代入，
得到：

m=am2+bm+c m=a(4-m)2+b(4-m)+c=0

，
兩式相減，得到：16a+4b-8am-2bm=0，
整理得到：（4a+b）（4-2m）=0
因為m≠2，所以4a+b=0，與2a+b=-2聯立，
得到a=1，b=-4，
那么c=-6，m=6
所以該二次函數解析式為y=x²-4x-6，m=6或-1；

（2）設經過A（-1，-1）和點B（3，-9）的一次函數解析式為y=kx+b，
將兩點坐標代入，得到

-1=-k+b -9=3k+b

，
解得k=-2，b=-3，
一次函數解析式為y=-2x-3
設點P（x，y），則M（x，-2x-3），N（x，x²-4x-6），
那么MN=（-2x-3）-（x²-4x-6）=-x²+2x+3，這里-1＜x＜3，
由于MN=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
所以當x=1時，線段MN長取得最大值4．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有用待定系數法求拋物線、直線的解析式，拋物線的頂點公式．在求有關最值問題時要考慮二次函數的頂點．