Question

（2012•和平區二模）已知拋物線y₁=a（x-2）²-4（a≠0）經過點（0，-3），頂點為M，將拋物線y₁向上平移b個單位可使平移后得到的拋物線y₂經過坐標原點，拋物線y₂的頂點為A，與x軸的另一個交點為B．

（1）求a的值；
（2）①b=

3

，②拋物線y₂的函數表達式是

y₂=

1

4

（x-2）²-1

；
（3）①點P是y軸上一點，當|PA-PB|的值最大時，求點P的坐標；
②點E是x軸上一點，在拋物線y₂上是否存在點F，使O（原點）、M、E、F四點構成以OM為一邊的平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將（0，-3）代入y₁=a（x-2）²-4（a≠0）中，即可求得a的值．
（2）拋物線y1經過（0，-3），向上平移后經過原點即可（0，0），因此拋物線向上平移了3個單位，根據“上加下減”的平移規律即可得出y₂的函數表達式．
（3）①當P、A、B三點不在同一直線上時，能構成△PAB，由三角形三邊關系定理不難看出|PA-PB|＜AB；若P、A、B三點共線時，|PA-PB|=AB，顯然當|PA-PB|的值最大時，P、A、B三點共線，所以直接求出直線AB的解析式，該直線與y軸的交點即為符合條件的P點；
②點O、M已經確定了具體坐標，且OM是平行四邊形的邊，所以只考慮另一邊EF即可，由于點E在x軸上，且OM

∥

.

EF，所以可分兩種情況討論：
Ⅰ、點F在x軸下方，此時MF必與OB平行，即MF平行于x軸，此時M、F兩點的縱坐標相同，由題意（y₂由y₁向上平移所得）可知，點F不可能在y₂上，這種情況不成立；
Ⅱ、點F在x軸下方，由于平行四邊形是中心對稱圖形，那么此時M、F的縱坐標互為相反數，可據此確定點F的坐標．

解答：解：（1）拋物線y₁=a（x-2）²-4（a≠0）經過點（0，-3），可得：
-3=a（0-2）²-4，
解得：a=

1

4

．

（2）∵經過（0，-3）的拋物線y1向上平移，經過（0，0）得到拋物線y2，
∴向上平移了3個單位，即b=3；
故拋物線y₂：y₂=

1

4

（x-2）²-4+3=

1

4

（x-2）²-1．

（3）①∵|PA-PB|≤AB，且當且僅當P、A、B共線時取等號，
∴|PA-PB|的值最大時，P、A、B共線；
由（2）的拋物線解析式知：A（2，-1）、B（4，0），設直線AB的解析式：y=kx+b，有：

2k+b=-1 4k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=-2

故直線AB：y=

1

2

x-2，則P（0，-2）．
②易知M（2，-4），分兩種情況討論：
Ⅰ、點F在x軸下方時，由于OM是平行四邊形的邊，則MF∥x軸，即F點的縱坐標為-4，顯然點F不可能在拋物線y₂上，此種情況不成立；
Ⅱ、點F在x軸上方時，由于平行四邊形是中心對稱圖形，所以F點的縱坐標為4；
當y₂=4時，

1

4

（x-2）²-1=4，解得：x=2±2

5

則F（2-2

5

，4）或（2+2

5

，4）；
綜上，存在符合條件的F點，且坐標為（2-2

5

，4）或（2+2

5

，4）．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象的平移規律、三角形三邊關系定理以及平行四邊形的判定等重要知識；（3）的難度較大，利用幾何知識找出解題的思路是解題的關鍵，著重體現了數形結合的重要性．