Question

（本題滿分10分）如圖①，在平面直角坐標系中，直線的位置隨b的不同取值而變化．

（1）已知⊙M的圓心坐標為（4，2），半徑為2，

當b= 時，直線經過圓心M ；

當b= 時，直線與 ⊙M相切；

（2）若把⊙M換成矩形ABCD，如圖②，其三個頂點的坐標分別為：A（2,0）,B（6,0）,C（6,2） ．設直線l掃過矩形ABCD的面積為S，當b由小到大變化時，請求出S與b的函數關系式．

 

Answer 1

（1）10；

（2）

【解析】

試題分析：（1）由待定系數法可以代入求結果．

（2）求出直線經過點A、B、C、D四點時b的值，從而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，

b＞14五種情況分別討論即可．

試題解析：（1）①∵直線y=－2x＋b （b≥0）經過圓心M（4，2），

∴2=－2×4＋b，解得b=10．

②如圖，作點M垂直于直線y=－2x＋b于點P，過點

P作PH∥x軸，過點M作MH⊥PH，二者交于點H。設直線y=－2x＋b與x，y軸分別交于點A，B

則由△OAB∽△HMP，得

∴可設直線MP的解析式為y=x+

由M（4，2），得2=×4+，解得=0

∴直線MP的解析式為y=x

聯立y=－2x＋b和y=x，解得x=b,y=b

∴P（b, b）

由PM=2，勾股定理得， ，化簡得

解得b=

（2）由A（2，0）、B（6，0）、C（6，2），根據矩形的性質，得D（2，2）

如圖，當直線經過A（2，0）時，b=4；當直線經過D（2，2）時，b=6；當直線經過B（6，0）時，b=12；當直線經過C（6，2）時，b=14

當0≤b≤4時，直線掃過矩形ABCD的面積S為0

當4＜b≤6時，直線掃過矩形ABCD的面積S為△EFA的面積（如圖1），

在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，則E（2，－4＋b）

令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，則F（，0）

∴AF=-2，AE=－4＋b

∴S=

當6＜b≤12時，直線掃過矩形ABCD的面積S為直角梯形DHGA的面積（如圖2），

在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，則G（，0）

令y=2，即－2x＋b=2，解得x=-1，則H（-1，2）

∴DH=-3，AG=-2,AD=2

∴S=

當12＜b≤14時，直線掃過矩形ABCD的面積S為五邊形DMNBA的面積=矩形ABCD的面積－△CMN的面積（如圖3）

在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=-1，則M（-1，0）

令x=6，得y=－12＋b，，則N（6，－12＋b）

∴MC=7-，NC=14－b

∴S==．

當b＞14時，直線l掃過矩形ABCD的面積S為矩形ABCD的面積，面積為民8．

綜上所述。S與b的函數關系式為：

．

考點：直線平移的性質，相似三角形的判定和性質，待定系數法，直線與圓相切的性質，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性質