Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B 向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點， HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當點E到達頂點A時，P，Q同時停止運動．設BP的長為x，△HDE的面積為y．
【小題1】求證：△DHQ∽△ABC；
【小題2】求y關于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；
【小題3】當x為何值時，△HDE為等腰三角形？

Answer 1

【小題1】∵A、D關于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，
∴△DHQ∽△ABC．
【小題1】①如圖1，當時，
ED=，QH=，
此時．
當時，最大值．
②如圖2，當時，
ED=，QH=，
此時．
當時，最大值．
∴y與x之間的函數(shù)解析式為
y的最大值是．

【小題1】①如圖1，當時，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
顯然ED=EH，HD=HE不可能；
②如圖2，當時，
若DE=DH，=，；
若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，；
若ED=EH，則△EDH∽△HDA，
∴，，． 
∴當x的值為時，△HDE是等腰三角形解析:

【小題1】由兩個對應角相等，滿足了兩個三角形相似的條件。
【小題1】根據(jù)函數(shù)解析式可以求得函數(shù)最大值。