Question

如圖，⊙O的弦AB和CD相交于K，過弦AB、CD的兩端的切線分別相交于P、Q，求證：OK⊥PQ．

Answer 1

證明：連接OP、OQ，分別交AB．CD于點M、N，再連接OA、OD、MN，并延長OK交PQ于H
∵PA、PB切⊙O于點A、B
∴OA⊥PA，OP⊥AB
∴OA²=OM•OP
同理OD²=ON•OQ
∵OA=OD∴OM•OP=ON•OQ
∴∠OMN=∠OQP
∵∠OMB=∠ONK=90°
∴∠OMB+∠ONK=180°
∴∠OMN=∠OKN∠OKN=∠OQP，
∴∠OMN=∠OKN∠OKN=∠OHQ=90°
∴OH⊥PQ
即OK⊥PQ
分析：此題關鍵是作出輔助線，證明OK⊥PQ，所以首先延長OK交PQ于H，其余幾條都是常用輔助線，再利用四點共圓可以解決．
點評：此題主要考查了四點共圓的判定方法，以及常用輔助線的作法，綜合性比較強．