Question

（2012•貴陽模擬）如圖，四邊形ABCD是一個邊長為1cm的正方形，AC是對角線，AE平分∠DAC交BC的延長線于點E．
（1）求證：AC=EC；
（2）求△ACE的面積．

Answer 1

分析：（1）由AE為角平分線，得到一對角相等，再由四邊形ABCD為正方形，得到AD與EB平行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，等量代換可得出∠EAC=∠E，利用等角對等邊即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，由正方形的邊長AB與BC都為1cm，利用勾股定理求出AC的長，即為EC的長，而AB為EC邊上的高，利用三角形的面積公式計算，即可得到三角形ACE的面積．

解答：（1）證明：∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠EAC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠E，
∴∠EAC=∠E，
∴AC=EC；

（2）解：∵AB=BC=1cm，
∴在Rt△ABC中，根據勾股定理得AC=

BC2+AB2

=

2

，
∴EC=

2

，
則S_△ACE=

1

2

EC•AB=

1

2

×

2

×1=

2

2

（cm²）．

點評：本題考查了正方形性質，勾股定理，以及等腰三角形判定的綜合運用，是涉及幾何證明與計算的綜合題，考查學生合情的推理能力和初步演繹推理能力的獲得，以及證明過程是否步步有據．