Question

如圖，在邊長為12個單位的正方形ABCD中，動點P從點B出發，以每秒3個單位的速度沿正方形的邊按B→C→D→A運動；動點Q同時從點C出發，以每秒2個單位的速度沿正方形的邊按C→D→A運動，到達點A后停止運動，設運動時間為t（秒）；
（1）直接寫出：當t的取值在什么范圍時，點P、點Q在正方形的同一條邊上運動？
（2）若點P在BC邊上運動，且AP=AQ，試求t的值；
（3）在整個運動過程中（不包括起點），要使△APQ是直角三角形，試求出所有符合條件的t的值．

Answer 1

解：（1）當4≤t≤6或8≤t≤12時，
點P、點Q在正方形的同一條邊上運動；

（2）在Rt△ABP與Rt△ADQ中，
∵AP=AQ，AB=AD，
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ，
∴BP=DQ，即3t=12-2t，
∴t=；

（3）當0＜t≤4時，∠PAQ不可能是直角；
若∠APQ=90°，可得：Rt△ABP∽Rt△PCQ，
則=，即=，
解得：t=；
若∠AQP=90°，如答圖，可得：Rt△ADQ∽Rt△QCP，
則=，即=，
解得：t₁=3，t₂=12，而t₂=12不合題意，舍去；
當4＜t≤6時，只有當t=6時，點Q在點D處，點P在CD上，得△APQ是直角三角形；
當6＜t＜8時，△APQ必定是鈍角三角形，不可是直角三角形；
綜上所述，當t=或t=3或t=6時，△APQ是直角三角形．
分析：（1）根據點P和點Q的運動速度即可得到時間的取值范圍；
（2）根據AP=AQ，AB=AD，判定Rt△ABP≌Rt△ADQ，從而得到BP=DQ，即3t=12-2t，并據此求得t值；
（3）分當0≤t≤4、4＜t≤6、6＜t＜8三種情況討論即可得到符合條件的t值．
點評：本題考查了相似三角形的判定及性質、勾股定理及正方形的性質的知識，特別是題目中涉及的動點問題，對學生來說是一個難點．