Question

如圖，在直線l上擺放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF∥DG，∠DGF=90°，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60度．解答下列問題：

（1）旋轉：將△ABC繞點C順時針方向旋轉90°，請你在圖中作出旋轉后的對應圖形△A₁B₁C，并求出AB₁的長度；
（2）翻折：將△A₁B₁C沿過點B₁且與直線l垂直的直線翻折，得到翻折后的對應圖形△A₂B₁C₁，試判定四邊形A₂B₁DE的形狀并說明理由；
（3）平移：將△A₂B₁C₁沿直線l向右平移至△A₃B₂C₂，若設平移的距離為x，△A₃B₂C₂與直角梯形重疊部分的面積為y，當y等于△ABC面積的一半時，x的值是多少．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，由已知得：BC=2cm，AC=AB×cos30°=cm，
∴AB₁=AC+CB₁=AC+CB=cm．

（2）四邊形A₂B₁DE菱形．
理由如下：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，
∴BC=AB=×4=2cm，
∵∠EDG=60°，∠A₂B₁C₁=∠A₁B₁C=∠ABC=60°，
∴A₂B₁∥DE，
又∵A₂B₁=A₁B₁=AB=4cm，DE=4cm，
∴A₂B₁=DE，
∴四邊形A₂B₁DE是平行四邊形，
又∵A₂B₁=AB=4cm，
B₁D=CD-B₁C=6-2=4cm，
∴A₂B₁=B₁D=4cm，
∴平行四邊形A₂B₁DE是菱形．

（3）由題意可知：
S_△ABC=cm²，
①當0≤x＜2或x≥10時，y=0，
此時重疊部分的面積不會等于△ABC的面積的一半．
②當2≤x＜4時，直角邊B₂C₂與直角梯形的下底邊DG重疊的長度為DC₂=C₁C₂-DC₁=（x-2）cm，
則y=（x-2）（x-2）=（x-2）²，
當y=S_△ABC=時，即（x-2）²=
解得（舍）或x=2+．
∴當x=2+cm時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半．
③當4cm≤x＜8cm時，△A₃B₂C₂完全與直角梯形重疊，即y=2cm²．
④當8cm≤x＜10cm時，B₂G=B₂C₂-GC₂=2-（x-8）=10-xcm
則y=（10-x）•（10-x）=（10-x）²，
當y=S_△ABC=時，即（10-x）²=，
解得x=10-cm，或x=10+cm（舍去）．
∴當x=10-cm時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半．
由以上討論知，當x=2+cm或x=10-cm時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半．
分析：（1）根據旋轉的定義得到CB′=CB，在直角三角形ABC中，根據三角函數就可以求出BC的長，即CB′的長，就可以求出AB₁的長度；
（2）四邊形A₂B₁DE是菱形，可以證明A₂B與DE平行且相等，得到四邊形A₂B₁DE是平行四邊形，又A₂B₁=B₁D=4，所以平行四邊形A₂B₁DE是菱形．
（3）y等于△ABC面積的一半時有兩種情況，一種是當A₃B₂與DE相交時，即當2≤x＜4時：根據A₃B₂∥DE，得到則重合部分的三角形與△A₃B₂C₂相似，且面積的比等于相似比，就可以求出在直線L上重合部分的長度，得到C₁C₂的長度．從而求出x的值．
另外一種情況是當A₃B₂與FG相交時，同樣，根據三角形相似就可以求出C₁C₂的長度．從而求出x的值．
點評：本題主要考查了旋轉的性質，用運動變化的觀點理解本題是解決的關鍵．