Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

3

4

x-

3

2

與拋物線y=-

1

4

x2+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．
①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關于x的函數關系式，并求出l的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出b，c即可；
（2）①根據△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y_P-y_D求出二函數最值即可；
②當點G落在y軸上時，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

=2，解得x=

-3± 17

2

，
所以得出P點坐標，當點F落在y軸上時，x=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

，解得x=

-7± 89

2

，可得P點坐標．

解答：解：（1）對于y=

3

4

x-

3

2

，當y=0，x=2．當x=-8時，y=-

15

2

．
∴A點坐標為（2，0），B點坐標為(-8，-

15

2

)．
由拋物線y=-

1

4

x2+bx+c經過A、B兩點，
得

0=-1+2b+c - 15 2 =-16-8b+c.

解得b=-

3

4

，c=

5

2

．
∴y=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

．

（2）①設直線y=

3

4

x -

3

2

與y軸交于點M，
當x=0時，y=-

3

2

．∴OM=

3

2

．
∵點A的坐標為（2，0），∴OA=2．∴AM=

OA2+OM2

=

5

2

．
∵OM：OA：AM=3：4：5．
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．
∴DE：PE：PD=3：4：5．
∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，
∵PD⊥x軸，
∴PD兩點橫坐標相同，
∴PD=y_P-y_D=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

-（

3

4

x-

3

2

）
=-

1

4

x²-

3

2

x+4，
∴l=

12

5

(-

1

4

x2-

3

2

x+4)
=-

3

5

x2-

18

5

x+

48

5

．
∴l=-

3

5

(x+3)2+15．
∴x=-3時，l_最大=15．
②當點G落在y軸上時，如圖2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，
即-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

=2，解得x=

-3± 17

2

，
所以P1(

-3+ 17

2

，2)，P2(

-3- 17

2

，2)，
如圖3，過點P作PN⊥y軸于點N，過點P作PS⊥x軸于點S，
由△PNF≌△PSA，
PN=PS，可得P點橫縱坐標相等，
故得當點F落在y軸上時，
x=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

，解得x=

-7± 89

2

，
可得P3(

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

)，P4(

-7- 89

2

，

-7- 89

2

)（舍去）．
綜上所述：滿足題意的點P有三個，分別是P1(

-3+ 17

2

，2)，P2(

-3- 17

2

，2)
P3(

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

)．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定以及待定系數法求二次函數解析式，利用數形結合進行分析以及靈活應用相似三角形的判定是解決問題的關鍵．