Question

已知，如圖，ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，點P從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為3cm/s；點Q從點C出發，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s，連接并延長QP交BA的延長線于點M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設運動時間為t（s）（0＜t＜1），解答下列問題：

（1）當t為何值時，四邊形AQDM是平行四邊形？
（2）設四邊形ANPM的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是ABCD面積的一半，若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由
（4）連接AC，是否存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分？若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由

Answer 1

解：（1）若四邊形AQDM是平行四邊形，則PA=PD，反之也成立，
∵AD=3，PA=3t，∴PD=3－3t。
∴3t=3－3t，解得。
∴當時，四邊形AQDM是平行四邊形。
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD。∴∠MAP=∠QDP。
又∵∠MPA=∠QPD，∴△MAP∽△QDP。
∴。∴，解得。
∵AB=CD=1，∴。
∵MN⊥BC，∠B=45°，∴。∴。
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC。
又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD。
∴
。
∴y與t之間的函數關系式為（0＜t＜1）。
（3）存在。
假設存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是ABCD面積的一半， 則
，即，解得（舍去）。
∴當時，四邊形ANPM的面積是ABCD面積的一半。
（4）存在。
假設存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分，
設NP與AC相交于點E，則AE：EC=或AE：EC=。
當AE：EC=時，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC。∴△APE∽△CNE。
∴。∴，解得。
當AE：EC＝時，
同理可得：，即，解得：，
∴當或時，NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分。

解析試題分析：（1）根據若四邊形AQDM是平行四邊形，則PA=PD，列式即可得解。
（2）應用相似三角形和銳角三角函數的知識求出，從而應用轉換思想，由
即可求得y與t之間的函數關系式。
（3）假設存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是ABCD面積的一半， 則，解出即可。
（4）假設存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分， 設NP與AC相交于點E，則分AE：EC=和AE：EC=兩種情況討論即可。