Question

已知二次函數y=x²+ax+a-2.
（1）求證：不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點.
（2）設a＜0，當此函數圖象與x軸的兩個交點A、B的距離為時，求出此二次函數的解析式.
（3）若（2）中的條件不變，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由.

Answer 1

（1）因為△=a²-4(a-2)=(a-2)²+4＞0，所以不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點.
（2）設x₁、x₂是x²+ax+a-2=0的兩個根，由韋達定理得， x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
因兩交點的距離是AB=，所以==. 即(x₁-x₂)²=13，
即(x₁-x₂)²=13，
變形為(x₁+x₂)²-4x₁x₂=13，所以(-a)²-4(a-2)=13
整理，得a²-4a-5=0，解得a₁=5，或a₂=-1.
又因為a＜0，所以a=-1，
所以此二次函數的解析式為y=x²-x-3.
（3）設點P的坐標為(x₀，y₀)，因為AB=
所以
所以=3，則y₀=±3.
當y₀=3時，x₀²-x₀-3=3，解得x₀=-2，或3；
當y₀=-3時，x₀²-x₀-3=-3，解得x₀=0，或1.
綜上所述， P點坐標是(-2，3)，(3，3)，(0，-3)或(1，-3).