Question

在△ABC中，∠B是直角，P是三角形內的一點，已知PA=10，PB=6，∠APB=∠BPC=∠CPA，則PC的長度是

33

．

Answer 1

分析：根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即AB²+BC²=AC²，用PC表示BC，CA，根據勾股定理即可求得PC．

解答：解：注意到已知條件，則∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，在△APB、△BPC、△CPA中，由余弦定理，得
AB²=PA²+PB²-2PA•PB•cos120°=10²+6²+60=196，
BC²=PB²+PC²-2PB•PCcos120°=PC²+6²+6PC，
CA²=PC²+PA²-2PC•PAcos120°=PC²+10²+10PC，
由勾股定理，AB²+BC²=CA²，得
196+（36+PC²+6PC）=PC²+100+10PC
∴4PC=132，PC=33，
故答案為 33．

點評：本題考查了勾股定理的正確運用，本題中用PC表示BC和CA，是解題的關鍵．