Question

【題目】如圖，將平行四邊形紙片沿對角線翻折，使點落在平行四邊形所在平面內，和相交于點，連接

判斷和的位置關系，并證明．

在圖1中，若，是否存在恰好為直角三角形的情形?若存在，求出的長度：若不存在，請說明理由．

若將圖中平行四邊形紙片換成矩形紙片，沿對角線折疊發現所得圖形是軸對稱圖形；將所得圖形沿其對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形．則矩形紙片的長寬之比是多少?請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）平行，理由見解析（2）存在當BC的長為2或3或6或4時，△AB′D是直角三角形（3）矩形紙片ABCD的長寬之比是1：1或：1

【解析】

（1）由折疊知BC＝B′C，∠ACB＝∠ACB′，結合∠ACB＝∠CAD知∠ACB′＝∠CAD，得AE＝CE，再由BC＝B′C＝AD知DE＝B′E，從而得∠EDB′＝∠EB′D，根據∠AEC＝∠DEB′得∠ACB′＝∠CAD＝∠EDB′＝∠EB′D，從而得證．

（2）先證得四邊形ACB′D是等腰梯形，分四種情形分別討論求解即可解決問題；

（3）①當AB：AD＝1：1時，符合題意．②當AD：AB＝：1時，也符合題意，根據全等三角形的判定與性質及含30°的直角三角形的性質即可求解．

（1）B′D∥AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠CAD，

由折疊知BC＝B′C，∠ACB＝∠ACB′，

∴∠ACB′＝∠CAD，

∴AE＝CE，

又∵BC＝B′C＝AD，

∴DE＝B′E，

∴∠EDB′＝∠EB′D，

∵∠AEC＝∠DEB′，

∴∠ACB′＝∠CAD＝∠EDB′＝∠EB′D，

∴B′D∥AC；

（2）∵AD＝BC，BC＝B′C，

∴AD＝B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACB′D是等腰梯形，

∵∠B＝30°，

∴∠AB′C＝∠CDA＝30°，

當∠B′AD＝90°，AB＞BC時，如圖1中，

設∠ADB′＝∠CB′D＝y，

∴∠AB′D＝y30°，

解得y＝60°，

∴∠AB′D＝y30°＝30°，

∵AB′＝AB＝2，設AD=x，則B’D=2x

∴B’D2=AD2+AB’2，即（2x）2=x2+(2)2，解得x=2

∴AD＝2，

∴BC＝2；

當∠ADB′＝90°，AB＞BC時，如圖2，

∵AD＝BC，BC＝B′C，

∴AD＝B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACB′D是等腰梯形，

∵∠ADB′＝90°，

∴四邊形ACB′D是矩形，

∴∠ACB′＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∵∠B＝30°，AB＝2，

∴AC=AB=

∴BC＝＝3；

當∠B′AD＝90°，AB＜BC時，如圖3，

∵AD＝BC，BC＝B′C，

∴AD＝B′C，

∵AC∥B′D，∠B′AD＝90°，

∵∠B＝30°，AB′＝2，

∴∠AB′C＝30°，

∴AE=B’E，B’E=2AE，

∴B’E2=AE2+AB’2，即（2AE）2=AE2+(2)2，

∴AE＝2，B’E＝2AE＝4，

∵∠ACB＝∠ACB’=∠CAD =30°

∴AE＝EC＝2，

∴CB′＝6，

當∠AB′D＝90°時，如圖4，

∵AD＝BC，BC＝B′C，

∴AD＝B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACDB′是平行四邊形，

∵∠AB′D＝90°，

∴四邊形ACDB′是矩形，

∴∠BAC＝90°，

∵∠B＝30°，AB＝2，

∴BC=2AC，AC=BC

∴BC2=AC2+AB2，即（BC）2=（BC）2+(2)2，

∴BC＝4；

∴已知當BC的長為2或3或6或4時，△AB′D是直角三角形．

（3）如圖5中，

①當AB：AD＝1：1時，四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，

∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，

∴△AEB′≌△AEF（AAS），

∴AB′＝AF，

此時四邊形AFEB′是軸對稱圖形，符合題意．

②當AD：AB＝：1時，也符合題意，

則AD=AB

∴AC=

∴∠DAC=30°，

∴AC＝2CD，

∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，

∴此時四邊形AFEB′是軸對稱圖形，符合題意．

綜上，矩形紙片ABCD的長寬之比是1：1或：1．