Question

當m是什么整數時，關于x的一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0與mx²-8x+16=0的根都是整數．

Answer 1

分析：根據△的意義得到對于一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0得到（2m）²-4（m²-4m-5）=16m+20≥0，解得m≥-

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4

，對于mx²-8x+16=0得到m≠0，（-8）²-4m×16≥0，解得m≤1，即m≤1且m≠0，
由此得到m的范圍為-

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4

≤m≤1且m≠0，而m是整數，m=-1或1，然后分別把m=1或-1代入方程求解，再確定滿足條件的m的值．

解答：解：∵關于x的一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0的根都是整數，
∴△=（2m）²-4（m²-4m-5）=16m+20≥0，解得m≥-

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4

，
∵關于x的一元二次方程mx²-8x+16=0的根都是整數，
∴m≠0，
∴△=（-8）²-4m×16≥0，解得m≤1，
∴-

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4

≤m≤1且m≠0，
∵m是整數，
∴m=-1或1，
當m=-1時，mx²-8x+16=0化為-x²-8x+16=0，解得x=-4±4

2

，不合題意舍去；
當m=1時，x²-2mx+m²-4m-5=0化為x²-2x-8，解得x₁=4，x₂=-2，
方程mx²-8x+16=0化為x²-8x+16=0，解得x₁=x₂=4，
∴m=1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的解法．