Question

如圖1，拋物線y=ax²-2ax-b（a＜0）與x軸的一個交點為B（-1，0），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．
（1）求頂點D的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）若以AD為直徑的圓經過點C．
①求拋物線的解析式；
②如圖2，點E是y軸負半軸上的一點，連接BE，將△OBE繞平面內某一點旋轉180°，得到△PMN（點P、M、N分別和點O、B、E對應），并且點M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點F，若線段MF：BF=1：2，求點M、N的坐標；
③如圖3，點Q在拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線CD相切，求點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）把B（-1，0）代入得：b=3a，
y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
所以頂點D（1，-4a）．

（2）①有題設知：點C（0，-3a），點A（3，0），
且∠ACD=90°；
在Rt△AOC中，AC²=9a²+3²，
在Rt△AHD中，AD²=16a²+2²，
在Rt△CMD中，CD²=a²+1²，
因為AD²=AC²+CD²，
所以16a²+2²=a²+1²+9a²+3²，a²=1，又a＜0，
所以a=-1，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
②設點M（m，y₁）
則BF=m+1，
點MF：BF=1：2，
∴MF=，即y₁=
點M（m，y₁）在拋物線上，
所以=-m²+2m+3，
解得：m=或m=-1（舍去），
點M的坐標為M（，）；
又因為MP∥BO，MP=BO，
所以點的坐標為P（，），
由得點N的坐標為N（，）．
③設點Q（1，y）
因為D（1，4），C（0，3）
直線CD的方程為y=x+3，
令y=0，得G（-3，0），
設直線CD與⊙O的切點為K，連接QK；
則△DQK∽△DGH，=，
又QK=QB=，DQ=4-y，
所以=，
整理得：y²+8y-8=0，
解得y=-4±2；
所以點Q的坐標為（1，-4+2）或（1，-4-2）．
說明：由∠QDK=45°，直接得出QD=QK，從而得4-y=再求解，同樣給分．
分析：（1）將B點坐標代入拋物線的解析式中，可得到a、b的關系式，將a替換b后，將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可得到頂點D的坐標．
（2）①根據（1）題所得拋物線解析式，可用得到C、A的坐標，若以AD為直徑的圓經過點C，由圓周角定理可知∠ACD=90°，分別用a表示出AC、AD、CD的長，根據勾股定理可得到關于a的方程，即可求出a的值，進而確定該拋物線的解析式．
②根據①題拋物線的解析式，可求得點B的坐標，先設出點M的坐標，可用其橫坐標表示出BF的長，已知BF=2MF，即可得到M點縱坐標的表達式，將其代入拋物線的解析式中，即可得到點M的坐標；根據中心對稱圖形的性質知MP=BO，由此可求得點P（即點N）的橫坐標，將其代入拋物線的解析式中，即可得到點N的坐標．
③若⊙Q與直線CD相切（設切點為K），那么QK=QB=QA，可設出點Q的坐標（橫坐標已知，只設縱坐標即可），可表示出QB、QK、DQ的長；設直線DC與x軸的交點為G，易求得直線DC的解析式，進而可得到點G的坐標，由此可求得HG、DG的長（H為拋物線對稱軸與x軸交點），由于直線CD切⊙Q于點K，易證得△DQK∽△DGH，根據拋物線所得比例線段，即可得到關于點Q縱坐標的方程，通過解方程可確定點Q的坐標．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質以及中心對稱圖形的性質、直線與圓的位置關系等重要知識，涉及知識面廣，難度較大．