Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D．
（1）若點E是BC邊上的中點，連接DE．證明：DE與半圓O相切；
（2）請你寫出（1）的逆命題，并判斷是否成立．為什么？
（3）若AC、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，求直角邊BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進而得出∠EDB=∠EBD，從而得出∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°問題得證；
（2）根據(jù)（1）寫出逆命題，利用DE為⊙O切線得出∠ODE=∠OBC=90°，進而得出∠C=∠CDE，得出答案；
（3）利用一元二次方程的解法得出方程的根，進而求出BC即可．
解答：解：（1）連接OD、BD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，則∠CDB=90°，
點E為BC的中點，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）過點D作⊙O的切線交BC于E，證明BE=CE；
證明：如圖DE為⊙O切線
∴∠ODE=∠OBC=90°，
∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠CDE=180°-90°=90°，
又∠C+∠A=90°，∠OAD=∠ODA，
∴∠C=∠CDE，
∴EC=ED，則EB=EC；

（3）解方程：x²-10x+24=0，
得x₁=4，x₂=6，
∵AC＞AB，∴AB=4，AC=6，
∴BC==．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)定理與判定定理以及一元二次方程的解法，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)定理得出∠EDB=∠EBD是解題關(guān)鍵．